高等数学主要研究函数 一元函数是实数集到实数集的映射 复变函数就是复数集到复数集的映射 从整数到有理数到实数到复数

数系的扩充与方程求解密切相关 解方程
x
2
=
2
,
x^{2}=2,
x2=2, 发现无理数 ; 解方程
x
2
=
−
1
,
x^{2}=-1,
x2=−1, 在实数范围内无解 ！

解代数方程及确定其根的分布是古典代数学研究的核心问题 16世纪意大利数学家给出了三次方程与四次方程的根式解 费罗 ( Ferro ) 考虑缺项三次方程
x
3
+
p
x
=
q
x^{3}+p x=q
x3+px=q 费罗 ( Ferro
)
)
) 考虑缺项三次方程
x
3
+
p
x
=
q
x^{3}+p x=q
x3+px=q
x
=
q
2
+
q
2
4
+
p
3
27
3
−
−
q
2
+
q
2
4
+
p
3
27
3
x=sqrt[3]{frac{q}{2}+sqrt{frac{q^{2}}{4}+frac{p^{3}}{27}}}-sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{frac{q^{2}}{4}+frac{p^{3}}{27}}}
x=32q​+4q2​+27p3​
​
​−3−2q​+4q2​+27p3​
​
​

p,q取一些特殊值就会要开负数根

该求根公式就涉及到负数开平方！

Girolamo Cardano《Ars Magna》 ( 卡尔达诺, 大衍术 )(1545) 复数出生的证明 卡尔达诺推广到一般三次方程：
x
3
+
a
1
x
2
+
a
2
x
+
a
3
=
0
x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3}=0
x3+a1​x2+a2​x+a3​=0 令
x
=
y
−
1
3
a
1
,
x=y-frac{1}{3} a_{1},
x=y−31​a1​, 便有
y
3
+
(
a
2
−
1
3
a
1
2
)
y
=
−
2
27
a
1
3
+
1
3
a
2
a
1
−
a
3
y^{3}+left(a_{2}-frac{1}{3} a_{1}^{2} ight)y =-frac{2}{27} a_{1}^{3}+frac{1}{3} a_{2} a_{1}-a_{3}
y3+(a2​−31​a12​)y=−272​a13​+31​a2​a1​−a3​

一个简单的代换就使得缺项式和一般式相互转换

缺项形式
y
3
+
p
y
=
q
y^{3}+p y=q
y3+py=q

复数被认为是不可能的(impossible)或者是虚构的(imaginary) 莱布尼兹 “取负数的平方根，就会产生不可能的数或虚数，虽然这个数的性质很奇妙，但它有用，不可忽视.” 在十八世纪末，C.Wessel[挪威] , J.R.Argand[瑞士]以及Gauss相继独 立认识到可以给出复数简单明了的几何解释 高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法 1811年的某天，Gauss给Wessel写了封信，说 “我们应当给虚数以 实数一样的地位…”

复数的出现 → 复数的意义 → 理论的形成
复
变
函
数
基
本
理
论
（
19
世
纪
）
{
级
数
理
论
（
C
a
u
c
h
y
）
级
数
理
论
(
W
e
i
e
r
s
t
r
a
s
s
)
映
照
理
论
（
R
i
e
m
a
n
n
）
复变函数基本理论（19世纪）left{ egin{aligned} 级数理论（Cauchy） \ 级数理论 ( Weierstrass ) \ 映照理论（ Riemann ） end{aligned} ight.
复变函数基本理论（19世纪）⎩⎪⎨⎪⎧​级数理论（Cauchy）级数理论(Weierstrass)映照理论（Riemann）​ 一个大学生如果不熟悉复数，那么代数、三角、积分学和常微分方程与偏微分方程 理论的大部分内容都无法学懂."(G.Polya[美] (1887-1985))

实函数导数
f
′
(
x
)
=
lim
⁡
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
(
x
,
Δ
x
∈
R
)
f^{prime}(x)=limlimits _{Delta x ightarrow 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}(x, Delta x in mathbb{R})
f′(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​(x,Δx∈R) 复函数导数
f
′
(
z
)
=
lim
⁡
Δ
z
→
0
f
(
z
+
Δ
z
)
−
f
(
z
)
Δ
z
(
z
,
Δ
z
∈
C
)
f^{prime}(z)=limlimits _{Delta z ightarrow 0} frac{f(z+Delta z)-f(z)}{Delta z}(z, Delta z in mathbb{C})
f′(z)=Δz→0lim​Δzf(z+Δz)−f(z)​(z,Δz∈C) 实函数
f
(
x
)
=
{
x
2
sin
⁡
1
x
,
x
≠
0
,
 在 
x
=
0
 处可导. 
0
,
x
=
0
f(x)=left{egin{array}{c}x^{2} sin frac{1}{x}, x eq 0, ext { 在 } x=0 ext { 处可导. } \ 0, quad x=0end{array} ight.
f(x)={x2sinx1​,x​=0, 在 x=0 处可导. 0,x=0​ 复函数
f
(
z
)
=
{
z
2
sin
⁡
1
z
,
z
≠
0
,
 在 
z
=
0
 处可导吗 
?
0
,
z
=
0
f(z)=left{egin{array}{c}z^{2} sin frac{1}{z}, z eq 0, ext { 在 } z=0 ext { 处可导吗 } ? \ 0, quad z=0end{array} ight.
f(z)={z2sinz1​,z​=0, 在 z=0 处可导吗 ?0,z=0​

sin
⁡
1
z
sin frac{1}{z}
sinz1​原本在实数集是有界的，但是在复数里便无界了。

f
(
x
)
=
1
1
+
x
2
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
,
∣
x
∣
<
1
,
x
∈
R
f(x)=frac{1}{1+x^{2}}=sumlimits_{n=0}^{infty}(-1)^{n} x^{2 n},|x|<1, x in mathbb{R}
f(x)=1+x21​=n=0∑∞​(−1)nx2n,∣x∣<1,x∈R

本来可以任意次求导，但是表示成幂级数就有了开区间限制，实数范围无法表示 x变成z，就变成了一个开圆盘，作为一个圆，半径为1，若扩大到±i，则z是没有意义的点

f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
,
∣
z
∣
<
1
,
z
∈
C
f(mathrm{z})=frac{1}{1+z^{2}}=sumlimits_{n=0}^{infty}(-1)^{n} z^{2 n},|z|<1, z in mathbb{C}
f(z)=1+z21​=n=0∑∞​(−1)nz2n,∣z∣<1,z∈C
f
(
x
)
=
tan
⁡
x
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
+
R
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
f(x)= an x=sumlimits_{k=0}^{n} frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+R_{n}(x)=sumlimits_{k=0}^{infty} frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}
f(x)=tanx=k=0∑n​k!f(k)(0)​xk+Rn​(x)=k=0∑∞​k!f(k)(0)​xk
R
n
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
θ
x
)
(
n
+
1
)
!
x
n
+
1
→
0
,
∣
x
∣
<
π
2
,
x
∈
R
R_{n}(x)=frac{f^{(n+1)}( heta x)}{(n+1) !} x^{n+1} ightarrow 0, quad|x|<frac{pi}{2}, x in mathbb{R}
Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(θx)​xn+1→0,∣x∣<2π​,x∈R
f
(
z
)
=
tan
⁡
z
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
(
0
)
k
!
z
k
,
∣
z
∣
<
π
2
,
z
∈
C
f(z)= an z=sumlimits_{k=0}^{infty} frac{f^{(k)}(0)}{k !} z^{k},|z|<frac{pi}{2}, z in mathbb{C}
f(z)=tanz=k=0∑∞​k!f(k)(0)​zk,∣z∣<2π​,z∈C

f
(
x
)
=
{
e
−
1
x
2
,
x
≠
0
0
,
x
=
0
f(x)=left{egin{array}{c}e^{-frac{1}{x^{2}}}, x eq 0 \ 0, x=0end{array} ight.
f(x)={e−x21​,x​=00,x=0​在R上任意次可导 , 且
f
(
n
)
(
0
)
=
0
,
n
=
0
,
1
,
⋯
f^{(n)}(0)=0, n=0,1, cdots
f(n)(0)=0,n=0,1,⋯

∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
=
0
=
f
(
x
)
(
x
=
0
)
sum_{k=0}^{infty} frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}=0=f(x)(x=0)
∑k=0∞​k!f(k)(0)​xk=0=f(x)(x=0)

考虑圆周|z|
=
r
(
r
=
0.5
,
0.2
,
0.1
)
=r(r=0.5,0.2,0.1)
=r(r=0.5,0.2,0.1) 在
w
=
e
−
1
z
2
(
z
∈
C
,
z
≠
0
)
w=e^{-frac{1}{z^{2}}}(z in mathbb{C}, z eq 0)
w=e−z21​(z∈C,z​=0) 下的像 ：

0.5,0.2，0.1，随着r逐渐减小，对应像曲线越来越复杂。 如果函数是解析的就可以用多项式去逼近 高阶导数公式，一个区间解析的函数可以任意次求导 代数基本定理：n次方程在复平面一定有n个根 圆盘→泰勒 圆环→洛朗 实积分计算可以不必找出原函数，解决了一些难以求解原函数的积分问题 幅角定理体现函数在某个区间有多少零点

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.csdn.net/qq_45379724/article/details/110223420