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复变函数->概述



绪论
复变函数历史简介复变函数特征举例初等函数的特征函数可导性的特征幂级数表示的特征复变函数的几何特征


复变函数历史简介

高等数学主要研究函数 一元函数是实数集到实数集的映射 复变函数就是复数集到复数集的映射 从整数到有理数到实数到复数


数系的扩充与方程求解密切相关 解方程
x
2
=
2
,
x^{2}=2,
x2=2, 发现无理数 ; 解方程
x
2
=

1
,
x^{2}=-1,
x2=−1, 在实数范围内无解 !


解代数方程及确定其根的分布是古典代数学研究的核心问题 16世纪意大利数学家给出了三次方程与四次方程的根式解 费罗 ( Ferro ) 考虑缺项三次方程
x
3
+
p
x
=
q
x^{3}+p x=q
x3+px=q 费罗 ( Ferro
)
)
) 考虑缺项三次方程
x
3
+
p
x
=
q
x^{3}+p x=q
x3+px=q
x
=
q
2
+
q
2
4
+
p
3
27
3


q
2
+
q
2
4
+
p
3
27
3
x=sqrt[3]{frac{q}{2}+sqrt{frac{q^{2}}{4}+frac{p^{3}}{27}}}-sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{frac{q^{2}}{4}+frac{p^{3}}{27}}}
x=32q​+4q2​+27p3​

​−3−2q​+4q2​+27p3​


p,q取一些特殊值就会要开负数根


该求根公式就涉及到负数开平方!


Girolamo Cardano《Ars Magna》 ( 卡尔达诺, 大衍术 )(1545) 复数出生的证明 卡尔达诺推广到一般三次方程:
x
3
+
a
1
x
2
+
a
2
x
+
a
3
=
0
x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3}=0
x3+a1​x2+a2​x+a3​=0 令
x
=
y

1
3
a
1
,
x=y-frac{1}{3} a_{1},
x=y−31​a1​, 便有
y
3
+
(
a
2

1
3
a
1
2
)
y
=

2
27
a
1
3
+
1
3
a
2
a
1

a
3
y^{3}+left(a_{2}-frac{1}{3} a_{1}^{2} ight)y =-frac{2}{27} a_{1}^{3}+frac{1}{3} a_{2} a_{1}-a_{3}
y3+(a2​−31​a12​)y=−272​a13​+31​a2​a1​−a3​


一个简单的代换就使得缺项式和一般式相互转换


缺项形式
y
3
+
p
y
=
q
y^{3}+p y=q
y3+py=q


复数被认为是不可能的(impossible)或者是虚构的(imaginary) 莱布尼兹 “取负数的平方根,就会产生不可能的数或虚数,虽然这个数的性质很奇妙,但它有用,不可忽视.” 在十八世纪末,C.Wessel[挪威] , J.R.Argand[瑞士]以及Gauss相继独 立认识到可以给出复数简单明了的几何解释 高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法 1811年的某天,Gauss给Wessel写了封信,说 “我们应当给虚数以 实数一样的地位…”


复数的出现 → 复数的意义 → 理论的形成









19



{





C
a
u
c
h
y





(
W
e
i
e
r
s
t
r
a
s
s
)





R
i
e
m
a
n
n

复变函数基本理论(19世纪)left{ egin{aligned} 级数理论(Cauchy) \ 级数理论 ( Weierstrass ) \ 映照理论( Riemann ) end{aligned} ight.
复变函数基本理论(19世纪)⎩⎪⎨⎪⎧​级数理论(Cauchy)级数理论(Weierstrass)映照理论(Riemann)​ 一个大学生如果不熟悉复数,那么代数、三角、积分学和常微分方程与偏微分方程 理论的大部分内容都无法学懂."(G.Polya[美] (1887-1985))


复变函数特征举例
初等函数的特征

在这里插入图片描述


函数可导性的特征

实函数导数
f

(
x
)
=
lim

Δ
x

0
f
(
x
+
Δ
x
)

f
(
x
)
Δ
x
(
x
,
Δ
x

R
)
f^{prime}(x)=limlimits _{Delta x ightarrow 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}(x, Delta x in mathbb{R})
f′(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​(x,Δx∈R) 复函数导数
f

(
z
)
=
lim

Δ
z

0
f
(
z
+
Δ
z
)

f
(
z
)
Δ
z
(
z
,
Δ
z

C
)
f^{prime}(z)=limlimits _{Delta z ightarrow 0} frac{f(z+Delta z)-f(z)}{Delta z}(z, Delta z in mathbb{C})
f′(z)=Δz→0lim​Δzf(z+Δz)−f(z)​(z,Δz∈C) 实函数
f
(
x
)
=
{
x
2
sin

1
x
,
x

0
,
 在 
x
=
0
 处可导. 
0
,
x
=
0
f(x)=left{egin{array}{c}x^{2} sin frac{1}{x}, x eq 0, ext { 在 } x=0 ext { 处可导. } \ 0, quad x=0end{array} ight.
f(x)={x2sinx1​,x​=0, 在 x=0 处可导. 0,x=0​ 复函数
f
(
z
)
=
{
z
2
sin

1
z
,
z

0
,
 在 
z
=
0
 处可导吗 
?
0
,
z
=
0
f(z)=left{egin{array}{c}z^{2} sin frac{1}{z}, z eq 0, ext { 在 } z=0 ext { 处可导吗 } ? \ 0, quad z=0end{array} ight.
f(z)={z2sinz1​,z​=0, 在 z=0 处可导吗 ?0,z=0​



sin

1
z
sin frac{1}{z}
sinz1​原本在实数集是有界的,但是在复数里便无界了。


幂级数表示的特征


f
(
x
)
=
1
1
+
x
2
=

n
=
0

(

1
)
n
x
2
n
,

x

<
1
,
x

R
f(x)=frac{1}{1+x^{2}}=sumlimits_{n=0}^{infty}(-1)^{n} x^{2 n},|x|<1, x in mathbb{R}
f(x)=1+x21​=n=0∑∞​(−1)nx2n,∣x∣<1,x∈R


本来可以任意次求导,但是表示成幂级数就有了开区间限制,实数范围无法表示 x变成z,就变成了一个开圆盘,作为一个圆,半径为1,若扩大到±i,则z是没有意义的点



f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
=

n
=
0

(

1
)
n
z
2
n
,

z

<
1
,
z

C
f(mathrm{z})=frac{1}{1+z^{2}}=sumlimits_{n=0}^{infty}(-1)^{n} z^{2 n},|z|<1, z in mathbb{C}
f(z)=1+z21​=n=0∑∞​(−1)nz2n,∣z∣<1,z∈C
f
(
x
)
=
tan

x
=

k
=
0
n
f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
+
R
n
(
x
)
=

k
=
0

f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
f(x)= an x=sumlimits_{k=0}^{n} frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+R_{n}(x)=sumlimits_{k=0}^{infty} frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}
f(x)=tanx=k=0∑n​k!f(k)(0)​xk+Rn​(x)=k=0∑∞​k!f(k)(0)​xk
R
n
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
θ
x
)
(
n
+
1
)
!
x
n
+
1

0
,

x

<
π
2
,
x

R
R_{n}(x)=frac{f^{(n+1)}( heta x)}{(n+1) !} x^{n+1} ightarrow 0, quad|x|<frac{pi}{2}, x in mathbb{R}
Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(θx)​xn+1→0,∣x∣<2π​,x∈R
f
(
z
)
=
tan

z
=

k
=
0

f
(
k
)
(
0
)
k
!
z
k
,

z

<
π
2
,
z

C
f(z)= an z=sumlimits_{k=0}^{infty} frac{f^{(k)}(0)}{k !} z^{k},|z|<frac{pi}{2}, z in mathbb{C}
f(z)=tanz=k=0∑∞​k!f(k)(0)​zk,∣z∣<2π​,z∈C


复变函数的几何特征


f
(
x
)
=
{
e

1
x
2
,
x

0
0
,
x
=
0
f(x)=left{egin{array}{c}e^{-frac{1}{x^{2}}}, x eq 0 \ 0, x=0end{array} ight.
f(x)={e−x21​,x​=00,x=0​在R上任意次可导 , 且
f
(
n
)
(
0
)
=
0
,
n
=
0
,
1
,

f^{(n)}(0)=0, n=0,1, cdots
f(n)(0)=0,n=0,1,⋯




k
=
0

f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
=
0
=
f
(
x
)
(
x
=
0
)
sum_{k=0}^{infty} frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}=0=f(x)(x=0)
∑k=0∞​k!f(k)(0)​xk=0=f(x)(x=0)


考虑圆周|z|
=
r
(
r
=
0.5
,
0.2
,
0.1
)
=r(r=0.5,0.2,0.1)
=r(r=0.5,0.2,0.1) 在
w
=
e

1
z
2
(
z

C
,
z

0
)
w=e^{-frac{1}{z^{2}}}(z in mathbb{C}, z eq 0)
w=e−z21​(z∈C,z​=0) 下的像 : 在这里插入图片描述


0.5,0.2,0.1,随着r逐渐减小,对应像曲线越来越复杂。 在这里插入图片描述 如果函数是解析的就可以用多项式去逼近 高阶导数公式,一个区间解析的函数可以任意次求导 代数基本定理:n次方程在复平面一定有n个根 圆盘→泰勒 圆环→洛朗 实积分计算可以不必找出原函数,解决了一些难以求解原函数的积分问题 幅角定理体现函数在某个区间有多少零点


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